我们在RayMarching 不同SDF的混合中介绍了不同SDF的常见4种混合的方案。但是在这些混合方案实现过程会发现，不管是并集，交集还是差集所呈现的混合结果都会很生硬。我们如何实现平滑的混合过程是本文讨论的要点。
假设我们定义了如下几个函数：
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L_1=x^{1/2}
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L_2=(x-2)^2
$$
根据RayMarching 不同SDF的混合并集操作中介绍，两个SDF可以通过min进行，所以我们新增：
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L_3=min(L_1, L_2)
$$
可以看到SDF已经合并。但是两条线的拐角处非常生硬。我们如何让其更加平滑，在继续介绍之前我们可以新增一个工具函数，用于在L1与L2间进行插值操作。那么我们需要先完成一个如下的插值函数，当k为0时值为L1，当k为1时值为L2：
$$
L_4=kL_2+(1-k)L_1 {0<=k<=1}
$$
如果我们想让线性插值函数做到与min函数一样的效果(即实现并集的效果)，那么我们应该让k在第一个拐点之前等于0，在第一个拐点与第二个之间等于1，第二个拐点之后继续等于0，那么我们就不能简单使用滑块来表示k值了。而应该实现一个映射函数。我们先找出L1与L2函数的两者间共用的规律，通过：
$$
L_5=L_2-L_1
$$
可以看到L2与L1的交点在相减之后y为0：
这很容易理解，也确实没有问题。但是我们需要让它能够平滑处理，此时交点就不能为0，而应该取k在0~1之间的值，如0.5，那也很简单，让L5加上0.5即可：
我们限制下L5，让其超出1的部分限制为1：
继续限制小于0的部分取0：
OK,我们已经得出了在L1的部分，值为1，在L2的部分，值为0，并在拐角处有插值渐变的过程。实际上如果我们把 L4=k·L2+(1-k)·L1变为 L4=k·L1+(1-k)·L2这样做实际上已经可以了。但是我们采用了 L4=k·L2+(1-k)·L1的方案，所以，我们应该让L1的部分值为0，L2的部分值为1。所以，可以让L5乘以 -1并加上1：
$$
L_5=-max(0, min((L_2-L_1)+0.5, 1))+1
$$
此时就得到我们想要的了：
然后，我们把L5替换k：
长了两个角出来了，这肯定是有问题了，实际上它应该在我如下图所示的位置就应该进行平滑过渡处理了：
此时我们可以让L5不管是等于0还是等于1都映射为0，中间的过渡部分自然会呈现大于0的波形图线：
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m=L_5(1-L_5)
$$
此时，我们让L4减去m，此时可以看到，线已经在指定区间了：
但是还是生硬，那我们让m乘上0.5？终于可以了。
为了可以调整平滑的程度，我们可以让L2-L1除以k，得到：
有瑕疵，我们应该也要让m乘上k，此时可以调整混合平滑度的式子就此诞生了：
另外，k不一定在0~1之间的范围，可以是任意范围，这样平滑的程度可以任意调整：
这是图线的链接地址。
