对于一个有多个质点的系统，I=∑i=1Nmiri2
以下是一些常见几何形状的转动惯量列表。假设物体的质量均匀分布，质量为 ( m )，转动轴通过质心（除非另有说明）。
1. 质点
-
转动轴：通过质点
-
转动惯量：
$$
I = mr^2
$$
（( r ) 是质点到转动轴的距离）
2. 细长杆
-
转动轴：通过中心，垂直于杆
$$
I = \frac{1}{12}mL^2
$$ -
转动轴：通过一端，垂直于杆
$$
I = \frac{1}{3}mL^2
$$
（( L ) 是杆的长度）
3. 圆环
-
转动轴：通过中心，垂直于环面
$$
I = mR^2
$$ -
转动轴：沿直径
$$
I = \frac{1}{2}mR^2
$$
（( R ) 是圆环的半径）
4. 圆盘
- 转动轴：通过中心，垂直于盘面
$$
I = \frac{1}{2}mR^2
$$ - 转动轴：沿直径
$$
I = \frac{1}{4}mR^2
$$
（( R ) 是圆盘的半径）
5. 实心球
- 转动轴：通过中心
$$
I = \frac{2}{5}mR^2
$$
（( R ) 是球的半径）
6. 空心球
- 转动轴：通过中心
$$
I = \frac{2}{3}mR^2
$$
（( R ) 是球的半径）
7. 长方体
- 转动轴：通过中心，垂直于长和宽
$$
I = \frac{1}{12}m(a^2 + b^2)
$$
（( a ) 和 ( b ) 是长方体的边长）
8. 圆柱体
- 转动轴：沿圆柱轴线
$$
I = \frac{1}{2}mR^2
$$ - 转动轴：通过中心，垂直于轴线
$$
I = \frac{1}{12}m(3R^2 + h^2)
$$
（( R ) 是半径，( h ) 是高度）
9. 薄板
- 转动轴：在板平面内，通过中心
$$
I = \frac{1}{12}m(a^2 + b^2)
$$
（( a ) 和 ( b ) 是板的边长）
10. 圆锥
- 转动轴：沿圆锥轴线
$$
I = \frac{3}{10}mR^2
$$ - 转动轴：通过顶点，垂直于轴线
$$
I = \frac{3}{5}m\left(\frac{1}{4}R^2 + h^2\right)
$$
（( R ) 是底半径，( h ) 是高度）
11. 椭圆柱
- 转动轴：沿轴线
$$
I = \frac{1}{4}m(a^2 + b^2)
$$
（( a ) 和 ( b ) 是椭圆的两个半轴）
12. 圆环（厚壁）
- 转动轴：通过中心，垂直于环面
$$
I = \frac{1}{2}m(R_1^2 + R_2^2)
$$
（( R_1 ) 是内半径，( R_2 ) 是外半径）
13. 半球
- 转动轴：通过底面中心，垂直于底面
$$
I = \frac{2}{5}mR^2
$$
（( R ) 是半径）
14. 薄球壳
- 转动轴：通过中心
$$
I = \frac{2}{3}mR^2
$$
（( R ) 是半径）
15. 抛物线形薄板
- 转动轴：通过顶点，垂直于对称轴
$$
I = \frac{1}{6}ma^2
$$
（( a ) 是抛物线的开口宽度参数）
16. 三角形薄板
-
转动轴：通过质心，垂直于板面
$$
I = \frac{1}{18}m(a^2 + b^2 + c^2)
$$
（( a, b, c ) 是三角形的边长）
17. 螺旋弹簧
- 转动轴：沿弹簧轴线
$$
I = \frac{1}{2}mR^2
$$
（( R ) 是弹簧的平均半径）
18. 复合物体
- 对于由多个简单形状组成的复合物体，转动惯量可以通过叠加各部分的转动惯量计算（注意使用平行轴定理调整转动轴）。
19. 非均匀密度物体
- 对于密度不均匀的物体，转动惯量需要通过积分计算：
$$
I = \int r^2 , dm
$$
其中 ( r ) 是质量元 ( dm ) 到转动轴的距离。
20. 平行轴定理
- 如果已知物体绕通过质心的轴的转动惯量 ( I_{\text{质心}} )，则绕任意平行轴的转动惯量为：
$$
I = I_{\text{质心}} + md^2
$$
其中 ( d ) 是两轴之间的距离。
21. 垂直轴定理
- 对于薄板状物体，绕垂直于板面的轴的转动惯量等于绕板面内两个垂直轴的转动惯量之和：
$$
I_z = I_x + I_y
$$
其中 ( d ) 是两轴之间的距离。
如果需要更具体的形状或特殊情况，可以进一步探讨！
这些公式适用于均匀密度的刚体。如果转动轴不通过质心，可以使用平行轴定理计算转动惯量。
