从MVP矩阵提取Frustum平面

Introduction

我们从SceneManagement篇中介绍了Frustum如何进行场景剔除，但是没有详细介绍如何提取Frustum平面，那么给定Model，View与Projection矩阵如何提取Frustum平面呢？我们还是使用Opengl进行阐述。

Plane Extraction in OpenGL

我们先从投影矩阵中提取Frustum平面，此时的模型视图矩阵是一个单位矩阵。

假设我们有一顶点 V：

$$
V=\left[ x ,y,z,w \right]^{T} (w = 1)
$$

矩阵M是一个4 x 4的投影矩阵：

$$
M=(m_{ij})
$$

V'是顶点V通过投影矩阵M变换的结果:

其中•表示点积, rowi表示矩阵M的第i行向量，如v·row2表示v与矩阵M的第二行所表示的向量的点积。

经过上述变换后，顶点V'将会处于齐次裁剪空间中。在这个空间，视图截锥就映射为了一个轴向对齐的Box。如果顶点V'在这个Box内，那么它必须满足以下条件:

为什么需要满足以上条件？要怎么理解它？此时可能需要借助Projection Matrix：

ar=width/height，代表屏幕宽高比

已知矩阵第四行第三列的值为1，这说明转换后顶点V'的w等于它的z值(即w'=z)，在转为NDC空间过程需要通过透视除法除以它的w'值以让转换后的坐标点限制在[-1 1]的Box空间中,如果转换后的点不在该Box空间中，即剔除该点。以x'为例，当x'=w'时，x' / w' = 1，同理可证，要让转换后的点在NDC的[-1 1]空间中，就必须满足下述条件：

并且我们可以从上述不等式中得出一些结论，如下表：

现在假设我们想测试一下x'是否在左剪切平面的半内空间中。如果以下不等式成立，也就是:

$$
-w' < x'
$$

结合开篇部分的信息，可以将不等式改写为：

$$
-(v \cdot row4) < (v \cdot row1)
$$

左右两边同时加上(v · row4)，为:

$$
0 < (v \cdot row1)+(v \cdot row4)
$$

最后结果为：

$$
0 < v\cdot(row1 +row4)
$$

所以左裁剪平面的平面方程为:

因为w等于1，所以可得：

这就得到了平面的标准方程：

这里的：

上述就是从投影矩阵中直接提取出视锥体左裁剪面的过程。值得注意的是，得到的平面方程没有归一化(即，平面的法向量不是单位向量)，法向量指向内部的半空间。这意味着，如果顶点v在左裁剪平面的内部半空间中，则0 < ax + by + cz +d。

我们可以类似上述的求取过程得到所有裁剪平面:

Supporting a Non-Identity Modelview Matrix

上述我们假设模型视图矩阵是一个单位矩阵。然而，我们的目标是使算法对任意矩阵有效。这不是很难，稍微思考下，就很容易能够理解:

如果矩阵M是投影矩阵和模型视图矩阵的组合矩阵，则算法得出的结果就是模型空间中的裁剪平面(即M = V·P，其中V为模型视图矩阵，P为投影矩阵)。