OpenGL教程系列(第十七课：旋转)

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本教程略微超出了OpenGL的范围，但解决了一个非常常见的问题：如何表示旋转？

在教程3《矩阵》中，我们学习了矩阵可以围绕特定轴旋转点。虽然矩阵是变换顶点的便捷方式，但处理矩阵本身却很困难：例如从最终矩阵中提取旋转轴就相当棘手。

我们将介绍两种最常见的旋转表示方式：欧拉角和四元数。最重要的是，我们将解释为什么你应该优先使用四元数。

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前言：旋转 vs 方向

在阅读旋转相关文章时，可能会因术语产生困惑。本教程中：

  • 方向是状态："物体的方向是..."
  • 旋转是操作："对物体施加此旋转"

即，当你施加旋转时，就改变了方向。两者可用相同方法表示，因此容易混淆。现在让我们开始...

欧拉角

欧拉角是最直观的方向表示方式。通过存储绕X/Y/Z轴的三个旋转角度实现。用vec3即可存储：

vec3 EulerAngles(X轴弧度, Y轴弧度, Z轴弧度);

这3个旋转角度内部会被依次应用，通常按照这个顺序：首先是Y轴，然后是Z轴，最后是X轴（也可以是其它顺序）。使用不同的顺序会产生不同的结果。

欧拉角的一个简单用途是设置角色的方向。通常游戏角色不会在X轴和Z轴上旋转，而只会在垂直轴上旋转。因此，编写、理解和维护一个变量 float direction 比维护三个不同的方向会更容易。

另一个使用欧拉角的好例子是第一人称射击游戏中的摄像机：你有一个用于水平方向的角度（Y轴），以及一个用于俯仰方向的角度（X轴）。可以参考common/controls.cpp中的示例。

然而，当事情变得更加复杂时，欧拉角将变得难以处理。例如：

  • 在两个方向之间平滑插值非常困难。直接对X、Y和Z角度进行插值会显得不自然。
  • 应用多个旋转既复杂又不精确：必须计算最终的旋转矩阵，并从该矩阵中猜测欧拉角。
  • 一个广为人知的问题，万向锁（Gimbal Lock），有时会阻碍旋转，以及其他会导致模型翻转的奇点问题。
  • 不同的角度会产生相同的旋转（例如 -180° 和 180°）。
  • 它很混乱——如上所述，通常正确的顺序是YZX，但如果还使用了具有不同旋转顺序的库，可能会徒增麻烦。
  • 某些操作较为复杂：例如，围绕特定轴旋转N度的操作。

四元数是一种表示旋转的工具，它可以解决这些问题

四元数

四元数通过[x y z w]四个分量表示旋转：

x = 旋转轴.x * sin(旋转角/2)
y = 旋转轴.y * sin(旋转角/2)
z = 旋转轴.z * sin(旋转角/2)
w = cos(旋转角/2)

旋转轴（RotationAxis) 顾名思义，就是你想要进行旋转的轴

旋转角（RotationAngle) 则是围绕该轴旋转的角度(弧度)

image1739458385567.png

因此，四元数本质上存储了一个旋转轴和一个旋转角度，并且以一种便于组合旋转的方式进行存储。这意味着当我们需要将多个旋转操作连接在一起时，使用四元数可以更方便地实现这一目标，而不需要像使用旋转矩阵那样进行复杂的矩阵乘法运算。此外，四元数还能有效避免万向锁问题，提供平滑插值等功能，在3D图形学、游戏开发等领域具有重要的应用价值。

读取四元数

四元数这种方式肯定没有欧拉角直观，但它仍然是可读的：xyz 分量大致对应旋转轴，而 w 的反余弦值 （acos(w)）则是旋转角度（需除以 2）。例如，想象你在调试器中看到以下数值：[0.7 0 0 0.7]。x=0.7，它比 y 和 z 大，因此你知道这主要是绕 X 轴的旋转；并且 2*acos(0.7) = 1.59 弧度，所以这是一个 90° 的旋转角。

同样地，[0 0 0 1] （w=1）意味着角度 = 2*acos(1) = 0，因此这是一个单位四元数，表示没有任何旋转

特点：

  • 存储旋转轴和角度，便于旋转组合
  • 直观性较差但可解读（xyz约等于旋转轴，acos(w)*2=旋转角）

基本操作

了解四元数背后的数学原理很少有实际用途：这种表示方法非常不直观，通常你只会依赖那些为你完成数学计算的实用函数。如果你对此感兴趣，可以查看“实用工具与链接”页面中的数学书籍。

C++创建示例：

#include <glm/gtc/quaternion.hpp>
quat q; // 单位四元数
quat q(w,x,y,z); // 直接构造
quat q = quat(vec3(90,45,0)); // 欧拉角转四元数
quat q = angleAxis(弧度转角度(旋转角), 旋转轴); // 轴角转四元数

GLSL应用：

你不需要直接在GLSL中使用四元数。可以将你的四元数转换为旋转矩阵，并将其用于模型矩阵中。这样，你的顶点会像平常一样通过MVP（模型-视图-投影）矩阵进行旋转

  • 转换为旋转矩阵使用
  • GPU骨骼动画可用vec4存储并自行计算

矩阵转换：

mat4 RotationMatrix = toMat4(quaternion);
mat4 ModelMatrix = 平移矩阵 * RotationMatrix * 缩放矩阵;

选择建议

在欧拉角和四元数之间做出选择还是比较头疼的事情。欧拉角对于艺术家来说更为直观，因此如果你正在编写某个3D编辑器，那么应该使用欧拉角。但是，四元数对程序员来说更为方便，并且速度也更快，因此你应该在3D引擎的核心部分使用四元数。

普遍的共识正是如此：在内部使用四元数，并且在任何时候涉及到用户界面时通过暴露欧拉角的方式

  • 3D编辑器：使用欧拉角（艺术家友好）
  • 3D引擎核心：使用四元数（计算高效）
  • 最佳实践：内部使用四元数，UI暴露欧拉角

实用技巧

在使用向量时，点积给出的是这两个向量之间角度的余弦值。如果这个值是1，那么这两个向量处于相同的方向

对于四元数而言也是一样的

四元数相似性检测

float相似度 = dot(q1,q2);
if(abs(相似度-1.0)<0.001) // 视为相同

你也可以通过对此点积取反余弦函数 acos() 来获得四元数𝑞1和𝑞2之间的角度

如何对一个点应用旋转？
你可以这样做：

rotated_point = orientation_quaternion * point;

...但是如果你想要计算你的模型矩阵，你应该将其转换为矩阵形式代替。

注意，旋转中心总是围绕原点。如果你想绕另一个点旋转：

rotated_point = origin + (orientation_quaternion * (point - origin));

如何在两个四元数之间插值？
这被称为SLERP：球面线性插值(Spherical Linear intERPolation)。使用GLM库，你可以通过mix函数实现：

glm::quat interpolatedquat = quaternion::mix(quat1, quat2, 0.5f); // 或者其他因子

如何累积两次旋转？
很简单！只需将两个四元数相乘即可。顺序与矩阵相同，即逆序：

quat combined_rotation = second_rotation * first_rotation;

如何找到两个向量之间的旋转轴与旋转角度？

基本思想很简单：

  • 向量之间的角度很容易找到：点积给出其余弦值。
  • 所需的轴也很容易找到：它是两个向量的叉积。
  • 下面的算法正好实现了这一点，并处理了一些特殊情况：

下面的算法正好实现了这一点，并处理了一些特殊情况：

quat RotationBetweenVectors(vec3 start, vec3 dest){
    start = normalize(start);
    dest = normalize(dest);float cosTheta = dot(start, dest);
    vec3 rotationAxis;if (cosTheta < -1 + 0.001f){
    // 当向量方向相反时的特殊情况：
    // 没有“理想”的旋转轴
    // 所以猜测一个；只要它与start垂直，任何都可以
    rotationAxis = cross(vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f), start);
    if (gtx::norm::length2(rotationAxis) < 0.01 ) // 不幸的是，它们平行，再试一次！
        rotationAxis = cross(vec3(1.0f, 0.0f, 0.0f), start);
        rotationAxis = normalize(rotationAxis);
        return gtx::quaternion::angleAxis(glm::radians(180.0f), rotationAxis);
        rotationAxis = normalize(rotationAxis);
        return gtx::quaternion::angleAxis(glm::radians(180.0f), rotationAxis);
     }
     rotationAxis = cross(start, dest);float s = sqrt((1+cosTheta)*2);
     float invs = 1 / s;
     return quat(
        s * 0.5f,
        rotationAxis.x * invs,
        rotationAxis.y * invs,
        rotationAxis.z * invs
     );
}

（你可以源代码中的common/quaternion_utils.cpp中找到这个函数）

我需要实现gluLookAt的类似功能。即如何让一个物体朝向某个点？
下面使用下RotationBetweenVectors这个函数。

// 找到物体前部（我们假设朝向+Z，
// 但这取决于你的模型）和期望方向之间的旋转
quat rot1 = RotationBetweenVectors(vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f), direction);

现在，你可能还想让你的物体保持直立：

// 重新计算期望的up方向，使其与方向垂直
// 如果你真的想强制设定期望的up方向，可以跳过这部分
vec3 right = cross(direction, desiredUp);
desiredUp = cross(right, direction);// 因为第一次旋转，up方向可能完全混乱了。
// 找到旋转对象的“up”方向和期望的up方向之间的旋转
vec3 newUp = rot1 * vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f);
quat rot2 = RotationBetweenVectors(newUp, desiredUp);

现在，将它们组合起来：

quat targetOrientation = rot2 * rot1; // 记住，顺序是反的。

注意，“direction”是一个方向，不是目标位置！但你可以简单地计算位置：targetPos - currentPos。

一旦你有了targetOrientation目标轴，你可以在起始方向和目标方向之间插值了。

（你可以在common/quaternion_utils.cpp中找到这个函数）

如何使用LookAt，但限制旋转在一个特定的速度内？
基本思想是执行 SLERP（= 使用glm::mix），但调整插值的系数，使得角度不大于期望值：

float mixFactor = maxAllowedAngle / angleBetweenQuaternions;
quat result = glm::gtc::quaternion::mix(q1, q2, mixFactor);

这里是一个更完整的实现，处理了许多特殊情况。请注意，并没有直接使用mix()来优化。

quat RotateTowards(quat q1, quat q2, float maxAngle){
    if( maxAngle < 0.001f ){
    // 不允许旋转。防止后面除以0。
    return q1;
    }

    float cosTheta = dot(q1, q2);

    // q1和q2已经相等。
    // 强制设置为q2以确保正确性
    if(cosTheta > 0.9999f){
    return q2;
    }

    // 避免绕球体的长路径
    if (cosTheta < 0){
    q1 = q1 * -1.0f;
    cosTheta *= -1.0f;
    }

    float angle = acos(cosTheta);

    // 如果只有2°差异，而我们允许5°，
    // 那么我们已经到达目的地。
    if (angle < maxAngle){
    return q2;
    }

    float fT = maxAngle / angle;
    angle = maxAngle;

    quat res = (sin((1.0f - fT) * angle) * q1 + sin(fT * angle) * q2) / sin(angle);
    res = normalize(res);
    return res;
}

你可以这样使用：

CurrentOrientation = RotateTowards(CurrentOrientation, TargetOrientation, 3.14f * deltaTime );

可以在源代码中的common/quaternion_utils.cpp文件找到该函数。

马鹏24
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